MATEMÁTICA BÁSICA-NEURISVALDO

Três pontos estão alinhados se, e somente se, pertencerem à mesma reta.

Para verificarmos se os pontos estão alinhados, podemos utilizar a construção gráfica determinando os pontos de acordo com suas coordenadas posicionais. Outra forma de determinar o alinhamento dos pontos é através do cálculo do determinante pela regra de Sarrus envolvendo a matriz das coordenadas.

Exemplo 1. Verifique se os pontos A(5, 5), B(1, 3) e C(0, 5) estão alinhados.

Solução: devemos fazer o cálculo do determinante das coordenadas dos pontos A, B e C e verificar se o resultado é igual a zero.

Como o determinante das coordenadas dos pontos resultou em um valor diferente de zero, podemos concluir que os pontos A, B e C não estão alinhados.

Exemplo 2. Dados os pontos A (2, 5), B (3, 7) e C (5, 11), vamos determinar se estão alinhados.

Somatório diagonal principal – Somatório diagonal secundária

(14 + 25 + 33) – (35 + 22 + 15)

72 – 72 = 0

Os pontos somente estarão alinhados se o determinante da matriz quadrada calculado pela regra de Sarrus for igual a 0.

Equação geral da Reta

Para determinarmos a equação geral de uma reta utilizamos os conceitos relacionados a matrizes. Na determinação da equação na forma ax + by + c = 0 aplicamos a regra de Sarrus utilizada na obtenção do discriminante de uma matriz quadrada de ordem 3 x 3. Para utilizarmos uma matriz nessa determinação da equação geral devemos ter no mínimo dois pares ordenados (x,y) dos possíveis pontos alinhados, por onde a reta irá passar. Observe a matriz geral da determinação da equação geral:

Vamos considerar o ponto genérico P(x, y), pertencente à reta s que passa pelos pontos A(–1, 6) e B(2, –3). Observe a matriz construída com as coordenadas oferecidas:

Diagonal principal

x * (–6) * 1 = 6x

y * 1 * 2 = 2y

1 * (–1) * (–3) = 3

Diagonal secundária

1* 6 * 2 = 12

x * 1 * (–3) = –3x

y * (–1) * 1 = –y

(6x + 2y + 3) – (12 – 3x – y) = 0

6x + 2y + 3 – 12 + 3x + y = 0

9x + 3y – 9 = 0 (dividindo a equação por 3)

3x + y – 3 = 0

CINEMÁTICA

Objeto Educacional de Física

Cinematica

Física Animada

Fonte: Só Física

Velocidade

A velocidade de um corpo é dada pela relação entre o deslocamento de um corpo em determinado tempo. Pode ser considerada a grandeza que mede o quão rápido um corpo se desloca.

A análise da velocidade se divide em dois principais tópicos: Velocidade Média e Velocidade Instantânea. É considerada uma grandeza vetorial, ou seja, tem um módulo (valor numérico), uma direção (Ex.: vertical, horizontal,...) e um sentido (Ex.: para frente, para cima, ...). Porém, para problemas elementares, onde há deslocamento apenas em uma direção, o chamado movimento unidimensional, convém tratá-la como um grandeza escalar (com apenar valor numérico).

As unidades de velocidade comumente adotadas são:

m/s (metro por segundo);

km/h (quilômetro por hora);

No Sistema Internacional (S.I.), a unidade padrão de velocidade é o m/s. Por isso, é importante saber efetuar a conversão entre o km/h e o m/s, que é dada pela seguinte relação:

A partir daí, é possível extrair o seguinte fator de conversão:

Velocidade Média

Indica o quão rápido um objeto se desloca em um intervalo de tempo médio e é dada pela seguinte razão:

Onde:

= Velocidade Média

= Intervalo do deslocamento [posição final – posição inicial (

)]

= Intervalo de tempo [tempo final – tempo inicial (

)]

Por exemplo:
Um carro se desloca de Florianópolis – SC a Curitiba – PR. Sabendo que a distância entre as duas cidades é de 300 km e que o percurso iniciou as 7 horas e terminou ao meio dia, calcule a velocidade média do carro durante a viagem:

= (posição final) – (posição inicial)

= (300 km) – (0 km)

= 300 km
E que:

= (tempo final) – (tempo inicial)

= (12 h) – (7h)

= 5 h

Então:

Mas, se você quiser saber qual a velocidade em m/s, basta dividir este resultado por 3,6 e terá:

Velocidade Instantânea

Sabendo o conceito de velocidade média, você pode se perguntar: “Mas o automóvel precisa andar todo o percurso a uma velocidade de 60km/h?”

A resposta é não, pois a velocidade média calcula a média da velocidade durante o percurso (embora não seja uma média ponderada, como por exemplo, as médias de uma prova).

Então, a velocidade que o velocímetro do carro mostra é a Velocidade Instantânea do carro, ou seja, a velocidade que o carro está no exato momento em que se olha para o velocímetro.

A velocidade instantânea de um móvel será encontrada quando se considerar um intervalo de tempo (

) infinitamente pequeno, ou seja, quando o intervalo de tempo tender a zero (

Saiba mais:
Para realizar o cálculo de velocidade instantânea, os seja, quando o intervalo de tempo for muito próximo a zero, usa-se um cálculo de derivada:
Derivando a equação do deslocamento em movimento uniformemente acelerado em função do tempo:

Para um maior estudo sobre cálculo de derivadas acesse:
http://www.somatematica.com.br/superior.php

Movimento Uniforme

Quando um móvel se desloca com uma velocidade constante, diz-se que este móvel está em um movimento uniforme (MU). Particularmente, no caso em que ele se desloca com uma velocidade constante em trajetória reta, tem-se um movimento retilíneo uniforme.

Uma observação importante é que, ao se deslocar com uma velocidade constante, a velocidade instantânea deste corpo será igual à velocidade média, pois não haverá variação na velocidade em nenhum momento do percurso.

A equação horária do espaço pode ser demonstrada a partir da fórmula de velocidade média.

Por exemplo:
Um tiro é disparado contra um alvo preso a uma grande parede capaz de refletir o som. O eco do disparo é ouvido 2,5 segundos depois do momento do golpe. Considerando a velocidade do som 340m/s, qual deve ser a distância entre o atirador e a parede?

Aplicando a equação horária do espaço, teremos:

, mas o eco só será ouvido quando o som "ir e voltar" da parede. Então

É importante não confundir o s que simboliza o deslocamento do s que significa segundo. Este é uma unidade de tempo. Para que haja essa diferenciação, no problema foram usados: S (para deslocamento) e s (para segundo).

Saiba mais...
Por convenção, definimos que, quando um corpo se desloca em um sentido que coincide com a orientação da trajetória, ou seja, para frente, então ele terá uma v>0 e um

>0 e este movimento será chamado movimento progressivo. Analogamente, quando o sentido do movimento for contrário ao sentido de orientação da trajetória, ou seja, para trás, então ele terá uma v<0 e um

<0, e ao movimento será dado o nome de movimento retrógrado.

Diagrama s x t

Existem diversas maneiras de se representar o deslocamento em função do tempo. Uma delas é por meio de gráficos, chamados diagramas deslocamento versus tempo (s x t). No exemplo a seguir, temos um diagrama que mostra um movimento retrógrado:

Analisando o gráfico, é possível extrair dados que deverão ajudar na resolução dos problemas:

S	50m	20m	-10m
T	0s	1s	2s

Sabemos então que a posição inicial será a posição = 50m quando o tempo for igual a zero. Também sabemos que a posição final s=-10m se dará quando t=2s. A partir daí, fica fácil utilizar a equação horária do espaço e encontrar a velocidade do corpo:

Saiba mais:
A velocidade será numericamente igual à tangente do ângulo formado em relação à reta onde está situada, desde que a trajetória seja retilínea uniforme.

Diagrama v x t

Em um movimento uniforme, a velocidade se mantém igual no decorrer do tempo. Portanto seu gráfico é expresso por uma reta:

Dado este diagrama, uma forma de determinar o deslocamento do móvel é calcular a área sob a reta compreendida no intervalo de tempo considerado.

Velocidade Relativa

É a velocidade de um móvel relativa a outro.

Por exemplo:
Considere dois trens andando com velocidades uniformes e que

. A velocidade relativa será dada se considerarmos que um dos trens (trem 1) está parado e o outro (trem 2) está se deslocando. Ou seja, seu módulo será dado por

Generalizando, podemos dizer que a velocidade relativa é a velocidade de um móvel em relação a um outro móvel referencial.

Movimento Uniformemente Variado

Também conhecido como movimento acelerado, consiste em um movimento onde há variação de velocidade, ou seja, o móvel sofre aceleração à medida que o tempo passa.

Mas se essa variação de velocidade for sempre igual em intervalos de tempo iguais, então dizemos que este é um Movimento Uniformemente Variado (também chamado de Movimento Uniformemente Acelerado), ou seja, que tem aceleração constante e diferente de zero.

O conceito físico de aceleração, difere um pouco do conceito que se tem no cotidiano. Na física, acelerar significa basicamente mudar de velocidade, tanto tornando-a maior, como também menor. Já no cotidiano, quando pensamos em acelerar algo, estamos nos referindo a um aumento na velocidade.

O conceito formal de aceleração é: a taxa de variação de velocidade numa unidade de tempo, então como unidade teremos:

Aceleração

Assim como para a velocidade, podemos definir uma aceleração média se considerarmos a variação de velocidade

em um intervalo de tempo

, e esta média será dada pela razão:

Velocidade em função do tempo

No entanto, quando este intervalo de tempo for infinitamente pequeno, ou seja,

, tem-se a aceleração instantânea do móvel.

Isolando-se o

Mas sabemos que:

Então:

Entretanto, se considerarmos

, teremos a função horária da velocidade do Movimento Uniformemente Variado, que descreve a velocidade em função do tempo [v=f(t)]:

Posição em função do tempo

A melhor forma de demonstrar esta função é através do diagrama velocidade versus tempo (v x t) no movimento uniformemente variado.

O deslocamento será dado pela área sob a reta da velocidade, ou seja, a área do trapézio.

Onde sabemos que:

logo:

Interpretando esta função, podemos dizer que seu gráfico será uma parábola, pois é resultado de uma função do segundo grau.

Equação de Torricelli

Até agora, conhecemos duas equações do movimento uniformemente variado, que nos permitem associar velocidade ou deslocamento com o tempo gasto. Torna-se prático encontrar uma função na qual seja possível conhecer a velocidade de um móvel sem que o tempo seja conhecido.

Para isso, usaremos as duas funções horárias que já conhecemos:

(1)

(2)

Isolando-se t em (1):

Substituindo t em (2) teremos:

Reduzindo-se a um denominador comum:

Exemplo:

(UFPE) Uma bala que se move a uma velocidade escalar de 200m/s, ao penetrar em um bloco de madeira fixo sobre um muro, é desacelerada até parar. Qual o tempo que a bala levou em movimento dentro do bloco, se a distância total percorrida em seu interior foi igual a 10cm?

Apesar de o problema pedir o tempo que a bala levou, para qualquer uma das funções horárias, precisamos ter a aceleração, para calculá-la usa-se a Equação de Torricelli.

Observe que as unidades foram passadas para o SI (10cm=0,1m)

A partir daí, é possível calcular o tempo gasto:

Movimento Vertical

Se largarmos uma pena e uma pedra de uma mesma altura, observamos que a pedra chegará antes ao chão.

Por isso, pensamos que quanto mais pesado for o corpo, mais rápido ele cairá. Porém, se colocarmos a pedra e a pena em um tubo sem ar (vácuo), observaremos que ambos os objetos levam o mesmo tempo para cair.

Assim, concluímos que, se desprezarmos a resistência do ar, todos os corpos, independente de massa ou formato, cairão com uma aceleração constante: a aceleração da Gravidade.

Quando um corpo é lançado nas proximidades da Terra, fica então, sujeito à gravidade, que é orientada sempre na vertical, em direção ao centro do planeta.

O valor da gravidade (g) varia de acordo com a latitude e a altitude do local, mas durante fenômenos de curta duração, é tomado como constante e seu valor médio no nível do mar é:

g=9,80665m/s²

No entanto, como um bom arredondamento, podemos usar sem muita perda nos valores:

g=10m/s²

Lançamento Vertical

Um arremesso de um corpo, com velocidade inicial na direção vertical, recebe o nome de Lançamento Vertical.

Sua trajetória é retilínea e vertical, e, devido à gravidade, o movimento classifica-se com Uniformemente Variado.

As funções que regem o lançamento vertical, portanto, são as mesmas do movimento uniformemente variado, revistas com o referencial vertical (h), onde antes era horizontal (S) e com aceleração da gravidade (g).

Sendo que g é positivo ou negativo, dependendo da direção do movimento:

Lançamento Vertical para Cima

g é negativo

Como a gravidade aponta sempre para baixo, quando jogamos algo para cima, o movimento será acelerado negativamente, até parar em um ponto, o qual chamamos Altura Máxima.

Lançamento Vertical para Baixo

g é positivo

No lançamento vertical para baixo, tanto a gravidade como o deslocamento apontam para baixo. Logo, o movimento é acelerado positivamente. Recebe também o nome de queda livre.

Exemplo

Uma bola de futebol é chutada para cima com velocidade igual a 20m/s.
(a) Calcule quanto tempo a bola vai demorar para retornar ao solo.
(b) Qual a altura máxima atingida pela bola? Dado g=10m/s².

(a)

Neste exemplo, o movimento é uma combinação de um lançamento vertical para cima + um lançamento vertical para baixo (que neste caso também pode ser chamado de queda livre). Então, o mais indicado é calcularmos por partes:

Movimento para cima:

Movimento para baixo:

Como não estamos considerando a resistência do ar, a velocidade final será igual à velocidade com que a bola foi lançada.

Observamos, então, que nesta situação, onde a resistência do ar é desprezada, o tempo de subida é igual ao de decida.

(b)

Sabendo o tempo da subida e a velocidade de lançamento, podemos utilizar a função horária do deslocamento, ou então utilizar a Equação de Torricelli.

Lembre-se de que estamos considerando apenas a subida, então t=2s