Geometria Analítica - Hora de Estudar

Os estudos em Geometria Analítica possibilitam a relação entre a Álgebra e a Geometria, abrangendo situações em que são envolvidos ponto, reta e figuras espaciais. 

A distância entre dois pontos é determinada pela Geometria Analítica, responsável por estabelecer relações entre fundamentos geométricos e algébricos. As relações são intituladas com base num sistema de coordenadas cartesianas, que é constituído de dois eixos perpendiculares enumerados.

No plano cartesiano, qualquer ponto possui uma coordenada de localização, basta identificar o ponto e observar os valores primeiramente em relação ao eixo horizontal x (abscissa) e posteriormente em relação ao eixo vertical y (ordenada).

Nesse sistema de coordenadas podemos demarcar dois pontos e determinar a distância entre eles. Observe:

Observe que o triângulo formado é retângulo de catetos AC e BC e hipotenusa AB. Se aplicarmos o Teorema de Pitágoras nesse triângulo determinando a medida da hipotenusa estaremos também calculando a distância entre os pontos A e B. Vamos aplicar as propriedades da relação de Pitágoras no triângulo ABC, originando a expressão matemática responsável pela determinação da distância entre dois pontos em função de suas coordenadas.

O Teorema de Pitágoras diz: “A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”. No triângulo ABC temos que:

Cateto AC = x₂ – x₁

Cateto BC = y₂ – y₁

 

Exemplo

Calcule a distância entre os pontos P(-2,3) e Q(-5,-9).

x₁: -2

x₂: -5

y₁: 3

y₂: -9 

PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO

Por ser um “pedaço” de uma reta podemos medir o seu comprimento (distância entre dois pontos de uma reta), assim possuindo seu ponto médio (ponto que separa o segmento ao meio). 




Exemplo 1

Dados os pontos P(5,1) e Q(–2,–9), determine as coordenadas do ponto médio do segmento PQ. 

x_M = [5 + (–2)] / 2 
x_M = (5 – 2) / 2 
x_M = 3/2 

y_M = [1 + (–9)] / 2 
y_M = (1 – 9) / 2 
y_M = –8/2 
y_M = –4 

Portanto, M(3/2, –4) é o ponto médio do segmento PQ. 

Lista de exercícios com gabarito sobre Geometria Analítica.

Identificar a localização de pontos no plano cartesiano:
01 - Exercícios Plano cartesiano;
02 - Exercícios Extra Geometria Analítica;

MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL: MÉDIA, MODA E MEDIANA

MÉDIA ARITMÉTICA

A Média é a mais importante das Medidas de Posição e saber calculá-la é simplesmente essencial para qualquer prova de Estatística.

     Quando a questão pedir que se calcule a Média, simplesmente isso, estaremos tratando da Média Aritmética. Na verdade, há outros dois tipos de Média: a Geométrica e a Harmônica. Como estas duas últimas costumam ser quase sempre ignoradas nas provas, embora presentes no programas dos editais, as explicaremos mais adiante, em uma aula à parte.

Segue o link com o documento sobre Média.

MODA

# Conceito:

Na linguagem coloquial (as alunas o sabem perfeitamente!), moda é algo que está em evidência, ou seja, algo que se vê bastante! Na Estatística, como o próprio nome sugere, a Moda é aquele elemento que mais vezes aparece no conjunto! (Leia-se: é o elemento de maior frequência). Sua determinação é bastante simples, como se verá adiante.

Segue o link com o documento sobre Moda.

MEDIANA – PARTE 01

    

# Observação Preliminar:

     Desde que iniciamos o estudo da Média e da Moda, estamos sempre as chamando de Medidas de Posição! E de fato, o são; da mesma forma que a Mediana! Ocorre que as Medidas de Posição não se restringem a estas três, cujo estudo estamos prestes a encerrar. Na verdade, a Média, a Moda e a Mediana fazem parte de um grupo de Medidas de Posição, o qual chamamos de Medidas de Tendência Central!

Segue o link com o documento sobre Mediana Parte 01.

MEDIANA – PARTE 02

# Determinação da Mediana –

à Mediana para Distribuição de Frequências:

     Vimos que, quando íamos procurar a Mediana no rol e nos dados tabulados, tínhamos sempre a preocupação de saber se o n (número de elementos do conjunto) era par ou ímpar! Essa preocupação deixa de existir no cálculo da Mediana para a distribuição de frequências.

     Aqui, teremos simplesmente que aplicar a fórmula da Mediana, cujos elementos serão extraídos de uma determinada classe da distribuição: a chamada Classe Mediana.

     Daí, basicamente o que precisamos fazer para determinar a Mediana de uma distribuição será:

     1^o) Descobrir quem é a Classe Mediana; e

     2^o) Aplicar a fórmula da Mediana para distribuição de frequências!

Segue o link com o documento sobre Mediana Parte 02.

Segue o link com uma lista de exercícios de revisão.

Estudo sobre Conjuntos - 1º Ano

Livro Digital - Matemática Básica

ESTUDO DE FUNÇÕES

Dados dois conjuntos A e B não vazios, uma função f de A em B é uma relação que associa a cada elemento x pertencente a A, um único elemento y pertencente a B. Assim, uma função liga um elemento do domínio (conjunto A de valores de entrada) com um segundo conjunto, o contradomínio (conjunto B de valores de saída) de tal forma que a cada elemento do domínio está associado exatamente a um, e somente um, elemento do contradomínio. O conjunto dos elementos do contradomínio que são relacionados pela f a algum x do domínio é o conjunto imagem, denotado por Im(f).

 

Vejamos agora alguns Objetos Educacionais sobre funções:

 

• Objeto Educacional 01:

 

 

• Objeto Educacional 02:

 

Exercícios sobre Gráficos

 

EXERCÍCIOS SOBRE GRÁFICOS DE LINHAS

 

 

 

 

 

EXERCÍCIOS SOBRE GRÁFICOS CIRCULARES

 

 

 

EXERCÍCIOS SOBRE GRÁFICO DE COLUNAS

 

OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS

Dispositivo Prático de Briot Ruffini

Lista de exercícios sobre Polinômios

POLINÔMIOS

           No 3º Bimestre da 3ª Série do Ensino Médio será trabalhado Polinômios:

COMPETÊNCIAS

ü  Permitir que o aluno traduza e generalize padrões aritméticos, estabeleça relações entre grandezas variáveis, compreenda e utilize diversos significados do uso da simbologia em situações novas e, muitas vezes, inesperadas, bem como serva de ferramenta para resolver problemas que tenham aplicações diretas.

 

HABILIDADES

 

ü  Estabelecer e aplicar relações entre coeficientes e raízes de polinômios.

ü  Efetuar operações (adição, subtração, multiplicação e divisão) de polinômios.

ü  Determinar as raízes de uma equação algébrica, bem como as suas multiplicidades.

ü  Relacionar o estudo de polinômios e equações polinomiais com o estudo de funções.

ü  Aplicar os teoremas do resto e de D’Alembert, o dispositivo de BriottRuffini, o teorema fundamental da álgebra e as relações de Girard.

ü  Escrever uma equação para representar uma relação entre duas variáveis.

ü  Escrever uma sentença, dada uma equação linear simples, em duas variáveis (forma pictórica).

 

CONTEÚDOS

Polinômios:

ü  Função Polinomial

ü  Operações com Polinômio

ü  Teorema do Resto

ü  Teorema de D’ Alembert

ü  Algoritmo de BriotRuffini

 

Equação Polinomial

ü  Raízes de uma Equação Polinomial

 

Relação de Girard:

ü  Soma e/ou Produto das Raízes de uma Equação Polinomial

ü  Equações Algébricas:

ü  Raiz ou zero da equação

ü  Teorema

ü  fundamental da álgebra

ü  Teorema da decomposição

ü  Multiplicidade de uma raiz

ü  Raízes nulas e complexas

           Para exemplificar o conteúdo segue os slides e um livro sobre o conteúdo: Clique no link para fazer o download do Material de estudo:

 

 

Livro  sobre Polinômios - Material Completo sobre Polinômios;

 

Polinômios I - Slide;

 

Polinômio II - Slide;

 

Boas Férias

Condição de Alinhamento de três pontos

Três pontos estão alinhados se, e somente se, pertencerem à mesma reta.

 

Para verificarmos se os pontos estão alinhados, podemos utilizar a construção gráfica determinando os pontos de acordo com suas coordenadas posicionais. Outra forma de determinar o alinhamento dos pontos é através do cálculo do determinante pela regra de Sarrus envolvendo a matriz das coordenadas.

 

Exemplo 1. Verifique se os pontos A(5, 5), B(1, 3) e C(0, 5) estão alinhados.

Solução: devemos fazer o cálculo do determinante das coordenadas dos pontos A, B e C e verificar se o resultado é igual a zero.

 

Como o determinante das coordenadas dos pontos resultou em um valor diferente de zero, podemos concluir que os pontos A, B e C não estão alinhados.

Exemplo 2. Dados os pontos A (2, 5), B (3, 7) e C (5, 11), vamos determinar se estão alinhados.

Somatório diagonal principal – Somatório diagonal secundária 

(14 + 25 + 33) – (35 + 22 + 15) 

72 – 72 = 0 

Os pontos somente estarão alinhados se o determinante da matriz quadrada calculado pela regra de Sarrus for igual a 0. 

 Equação geral da Reta


Para determinarmos a equação geral de uma reta utilizamos os conceitos relacionados a matrizes. Na determinação da equação na forma ax + by + c = 0 aplicamos a regra de Sarrus utilizada na obtenção do discriminante de uma matriz quadrada de ordem 3 x 3. Para utilizarmos uma matriz nessa determinação da equação geral devemos ter no mínimo dois pares ordenados (x,y) dos possíveis pontos alinhados, por onde a reta irá passar. Observe a matriz geral da determinação da equação geral:

Vamos considerar o ponto genérico P(x, y), pertencente à reta s que passa pelos pontos A(–1, 6) e B(2, –3). Observe a matriz construída com as coordenadas oferecidas:

Diagonal principal

x * (–6) * 1 = 6x

y * 1 * 2 = 2y

1 * (–1) * (–3) = 3

 

Diagonal secundária

1* 6 * 2 = 12

x * 1 * (–3) = –3x

y * (–1) * 1 = –y

 

(6x + 2y + 3) – (12 – 3x – y) = 0

6x + 2y + 3 – 12 + 3x + y = 0

9x + 3y – 9 = 0 (dividindo a equação por 3)

3x + y – 3 = 0

 

 

ESTUDO DE GRÁFICOS

Objetivo(s) 

• Estudar conceitos de estatística, em especial leitura e interpretação de gráficos;
• Desenvolver competências para criar uma visão global do tema

Conteúdo(s) 

• Estatística
• Leitura e interpretação de gráficos

Para facilitar o entendimento do assunto segue abaixo alguns links com exercícios online sobre gráficos:

Gráficos de colunas;

Gráficos de Setores;

Gráficos de linhas;

Bons Estudos!